Allan方差是時頻分析和慣性導航領域常用的一種誤差分析方法，它有效地刻畫了待研究的誤差時間序列在不同時間尺度上的波動水平（不穩定性），并可根據不同時間尺度上的Allan方差值所構成的曲線的形狀特征來辨識其中包含的隨機過程模型。這就類似于我們用功率譜密度（PSD）來描述信號在不同頻率尺度上的功率分布，并用PDS曲線來做系統模型辨識。Allan方差分析方法對中長期的隨機波動具有很強的表現力，它完全可以作為一個通用的時間序列分析工具來推廣到其它應用領域，就像PSD這樣的頻域分析方法和自相關這樣的時域分析方法一樣。

 

在我們對慣性導航器件（陀螺和加速度計）進行誤差分析時，常采用Allan方差分析方法。這是當初從時頻領域（高精度時鐘的頻率穩定性）借鑒來的一種時間序列分析方法[1]，非常適合于對中長期波動（不穩定性）進行定量描述和分析，因此正是我們慣性器件誤差分析所需要的。

與Allan方差相比，傳統的誤差指標往往是采用誤差均值（反映整個誤差序列有無宏觀偏置）、標準差（反映整個誤差序列的波動情況），以及方均根（RMS，可以認為是宏觀偏置與波動情況的綜合）。如下圖所示，它們都是反映誤差序列的整體情況的指標，其中含有短時間快速變化和長時間緩變的各個成份，無法細分出不同時間尺度上的誤差波動情況。

 Allan方差（阿蘭方差或阿倫方差）則是將誤差序列在某個指定的時間尺度上的波動情況進行了精確提取，其具體計算步驟如下：

1.      將整段誤差序列按照你感興趣的時間尺度的長度（例如1分鐘）進行分塊；

2.      每塊求平均值；

3.      相鄰塊的平均值求差；

4.      將所有差值進行統計，得到其均方值，并乘以1/2。

這樣就得到了對應于這個塊長度（1分鐘）的Allan方差值。（具體過程見下圖）

 

 

這個計算過程看上去有點眼花繚亂，我對Allan方差這樣一通操作的理解如下：

如果我們只對某一時間尺度上的誤差（即誤差波動）感興趣的話，那么比這個時間尺度更小的細節變化（短時間快速跳動）和比這個時間尺度更大的宏觀變化（長時間緩慢漂移）就都不關心了，希望在我們的誤差指標中都被消除掉。而Allan方差是這樣做到的：

1.      通過分塊確定所要考察的時間塊長度；

2.      利用塊內求平均的辦法把短于塊長度的那些快速變化成份（細節）都抹掉；

3.      再利用相鄰塊求差的辦法把長于兩塊長度的那些緩慢變化成份（宏觀）都抹掉；

4.      最后對差值序列統計其均方值（這是處理任何隨機樣本的標準操作），這樣統計出來的就是介于1倍塊長度和2倍塊長度這樣一個很窄的時間尺度范圍內的誤差波動情況。

如果我們對誤差序列的各個時間尺度上的成份都感興趣的話，可以將塊長度由短到長，“掃描”一遍，得出一組Allan方差值，然后畫個“Allan方差 vs. 塊長度”的曲線，這樣就能全面反映被研究的誤差序列的特性了。具體的，實際上是“Allan方差的開方（Allan Deviation） vs. 塊長度”的雙對數曲線，以便在更大的范圍上有更強的表現力。以下是一張經典的高精度陀螺的Allan方差示意圖。

 

 

從這根Allan方差曲線上，我們可以根據曲線的形狀特征來識別出不同類型的隨機誤差（即隨機過程模型）并提取其參數。例如：斜率為-1/2的直線段代表白噪聲。具體可參見IEEE制定的一個關于陀螺測試的技術標準中的附錄C內容[2]。這個附錄中還給出了一個從Allan方差曲線中分析陀螺的多種隨機誤差的案例（如上圖）。但我想提醒大家，實際的Allan方差曲線往往只能表現出少數兩三個主要誤差類型，因為其它誤差都被這幾個主要誤差給淹沒了。而由于我們在工程上關心的恰恰也就是主要誤差源，因此我們并不受此困擾。更多的使用Allan方差分析過程中的注意事項可參考西工大嚴恭敏老師的博文《Allan方差分析的使用要點》，寫得非常精準務實。

大家對Allan方差分析方法的理解可以類比于經典的功率譜密度（PSD）分析方法，只不過后者是描述誤差序列在不同頻率尺度上的成份，屬于頻域分析。這兩種分析方法對于相同的隨機模型是有比較明確的對應關系的，這在那個IEEE標準里也有嚴謹闡述。

既然如此，為什么我們在已有成熟的功率譜密度分析方法、自相關分析方法等經典的時間序列分析工具之外，還要引入Allan方差呢？我的理解是，PSD和自相關分析都是擅長于分析中短期誤差（即中高頻成份），而不適用于分析慣導（和時鐘）這種看重長期穩定性的傳感器。而Allan方差曲線恰恰對中長期時間尺度上的誤差特性有很強的表現力。

前文提到了，對應于某個塊長度的Allan方差是反映了1~2倍塊長度這一狹窄時間尺度范圍內的誤差成份，那么能否給出一個時間尺度范圍更大一些的誤差指標，比如能反映1~M倍塊長度范圍內的誤差成份呢？這就涉及到了一類更通用的樣本方差分析方法，具體可以參考非常經典的文獻[3]。

如下圖所示，通用的樣本方差分析方法與Allan方差不同之處是在分塊、取平均之后，不是采取相鄰塊求差，而是截取連續M塊求其標準方差，然后統計這些標準方差的樣本均值，作為反映1~M倍塊長度這個時間尺度區間的誤差指標。這樣就可以靈活地提取和評估我們所關心的任何時間尺度范圍內的誤差成份！

容易推導，Allan方差只是上述通用樣本方差分析在M=2時的一個特例，如下式：

 

由于Allan方差取M=2這一最小值，因此它具有最高的時間尺度分辨率，對不微附件同時間尺度上的誤差成份的刻畫最細膩，因此被大家用得最多。

總的來看，Allan方差是一個相對而言直觀形象、樸實無華的概念，它當初是在實踐中針對高精度時鐘穩定性分析的需求而提出的。我相信當我們對某個科研問題日思夜想、廢寢忘食的時候，我們腦海中也會自然而然地迸發出類似的概念，來幫助我們解決面臨的問題。但基于這種新概念、新指標來形成一套完整自洽的理論體系，則需要扎實的數學功底，不是每個人都能做到的。

理論上講，Allan方差分析方法并不局限于對慣性器件和時鐘誤差的分析，也可推廣到其它誤差序列分析[4~7]；而且它也不局限于是對誤差序列進行分析，也可應用于任何時間序列的分析（例如建筑形變、地質演化等）[8]。

本文希望能破除大家對Allan方差的神秘感，將它應用到更廣闊的范圍里。當然更希望能啟發大家在必要時自主提出新的誤差指標的定義，來支持自己所在領域的研究。

 

以下為相關參考文獻，同時可在研究成果頁面訪問我們團隊關于Allan方差拓展應用于組合導航結果誤差分析的相關論文。

[1]   D. W. Allan, Statistics of atomic frequency standards, Proc. IEEE, vol. 54, no. 2, pp. 221–230, Feb. 1966.

[2]  IEEE, IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros, AnnexC, IEEE Std 647-1995, 1995.  IEEE standard for Testing IFOG (Annex C_Allan).pdf

[3]  Riley W J. Handbook of frequency stability analysis [M]. US Department of Commerce, National Instituteof Standards and Technology Gaithersburg, MD, 2008.   Handbook of frequency stability analysis.pdf

[4]  Zhang Q, Niu X, Chen Q, et al. Using Allan variance to evaluate the relative accuracy on different time scales of GNSS/INS systems. Measurement Science and Technology, 2013, 24(8):1659-1666.

[5]  Niu, X., Chen, Q., Zhang, Q.,Zhang, H., Niu, J., Chen, K., ... & Liu, J. (2014). Using Allan variance to analyze the error characteristics of GNSS positioning. GPS Solutions, Volume18, Issue 2 (2014), Page 231-242.

[6]  Zhang Q, Niu X, Shi C. Impact Assessment of Various IMU Error Sources on the Relative Accuracy of the GNSS/INS Systems. IEEE Sensors Journal, 2020, 20(9): 5026-5038.  Impact Assessment of Various IMU Error Sources on the Relative Accuracy of the GNSS_INS Systems.pdf

[7]  張全. GNSS/INS組合導航短期精度的分析方法及應用研究 [D], 2015, 武漢大學.

[8]  Friederichs T . Analysis of geodetic time series using Allan variances [J]. Uni Stuttgart -Universit?tsbibliothek, 2010.  (Thomas)Analysis of Geodetic Time Series Using Allan Variance.pdf